古代人の宇宙観

昔から人は宇宙がどういう構造になっているのかに興味があったようで、世界各国で様々な神話が残っている。
特に面白いのがインドの宇宙観で、陸地は四匹の象が支えており、その象は巨大な亀に乗っている。亀はさらに蛇に乗っており、蛇は自分で自分の尾っぽをくわえている。この宇宙観に関しては、蛇が古代ギリシャのウロボロスに通じるところがあるだの、亀が世界を支えているという説は古代中国の列子にもあるだの、さらには、うる星やつら２でパロディで出てくるとか色々とあるのだが、話が長くなるので止めておく。

で、既にいつ聞いたのか全く定かではないのだが、亀の下は蛇でなくて、更に亀がいる…と主張する人がいた。「じゃあ、その下は？」と聞けば「さらに亀が…？」となって、永遠に亀がいるそうである。
思うに、インドや中国の世界観と「親亀の上に子亀を乗せて〜♪」の歌がミックスされたのではないかと考えられるが、中々面白い。大地の下に巨大な亀がいて、それが無限にずぅーっと連なっている様は、想像するだけで痛快（？）である。

さて、次に興味が出てくる事項は、このような状況が実在したとして、大地にはどのような重力がかかるだろうかということである。
えっ？ そんなこと思わない？ いやまあ、そう言わんと…

まずは亀1匹

無限に続く亀であるが、まずはその1匹がどのような重力を大地に及ぼすかを考えねばならない。亀の形状は…ややこしいので円板とする。何か似たような展開が前にもあったような気がするが、気にしないでおく。
まあ、この仮定の妥当性を付け加えるならば、最終的にはずぅーっと重なる棒状の物体になるのであるから、少々のズレはあまり気にしなくてよいのである。

で、重力の強さを測る場所と亀までの距離をxとし、後々のことを考えて、亀の厚みをdxとする。また、亀半径をRとし、亀密度をρとしよう。ちなみに、万有引力定数は、言わずもがなのGである。
なお、計算を簡単にするため、重力測定ポイントは亀の中心から鉛直に伸びた軸上とする。
まず、半径rのドーナツ状の部位からの重力を考える（当然ながら、0≤r≤R）。ドーナツの幅をdrとすれば、このドーナツの質量dmは、

…（式1）

となろう。このドーナツ状の部位からxまでの距離は、となるため、ぐるっと一周した各部位の重力の総和がこのxにかかっていることになる。ただし、水平成分の力は360度グルッと回って相殺されてしまうので、残るのは垂直成分のみである。
図のように、x軸と力の及ぶ方向との間の角をθとすれば、このドーナツからの力dfは、

…（式2）

となる。cosθは図より、x/となることがバレバレなので、（式1）と合わせて、この円板全体から受ける重力fは、

…（式3）

となることが分かる。ちなみにこの円板が発する重力は、リングが発する重力と違って、円板までの距離xが小さいほど強いことが分かる。

ここから先は少々余談だが、R→∞に持って行くと無限に広い平面から受ける重力が分かる。式3から明らかなように、この場合はf = 2πρGdxが残り、有限の値となる。平面は無限だが、そこから受ける重力は有限なのである。
さらに、この式にはxが含まれていない。すなわち、この平面からどれだけ離れようとも、得られる重力は一定ということになる。
まあ、昇っても昇っても、縁が見えないのだから、一種の相似形であって、力が変わるとおかしいという見方もできる。

まあ、このへんのことは、「ガウスの法則から簡単に出るじゃん」と言われるとその通りだったりする。他の見方をすると、空間は3次元なのだから、2次元に無限な壁を作られてしまうと、そこから出るベクトル線というかそういう物は平行線にならざるを得ず、壁からの距離によって変化しては困るのである。一言で言えば「何のための逆二乗の法則やねん」と言ったところか…。
もっと言えば、無限に長い線が作る重力ならば、逆一乗の法則になるだろうなということは容易に想像できる筈だ。

つぎに亀の積み重ね

さて、問題は、この円板…もとい、亀をドンドン積み上げたら、一番上の亀上の重力はどうなるかということである。これは、式3をx軸方向で積分してやればよい。亀を重ねた厚みがXだとするならば、亀上の重力g(X)は、

…（式4）

と、非常にシンプルになることが分かる。

一応この重力場をグラフにしてみると、こんな感じ（Mac付属のGrapherを使いました）。横軸が亀の厚みxで、縦軸が亀上の重力g(X)である。ただし、このグラフは2πρG=R=1で描いてある。
まあ、式4からも明らかなのだが、X→∞に持っていくと、g(∞) = 2πρGRとなり、やっぱり有限の値となることが分かる。グラフで見ても、亀半径の4倍くらいまで亀を積み重ねれば、漸近値の9割くらいまで行くので、それ以上伸ばしても、重力増強の足しにはあまりならないことが分かるであろう。

で、最初の疑問に立ち返ってみれば、大地の下に巨大な亀がいて、それが無限にずぅーっと連なっている場合であっても、ちゃんと重力場は有限の値に留まり、亀上では普通の生活ができることになる。そういう意味では、古代の宇宙観もなかなか侮れないと言えるかも知れない。
さらに言えば、亀の甲羅は丸みがあるので、中心から外れた場所でも、ちゃんと地面に垂直に立てる構造になっていると考えることができる。う〜む、増々侮れんな。

少し別の側面から、この事実を考えて見る。
無限に長い建造物を宇宙空間に作ったとしても、その最上部にかかる力は有限である。さらに言えば、その中間の部分（無限の中間ってどこ？）にかかる力も、上下からの力が加わるものの、やはり有限ということになる。つまり、いくら伸ばしても、破綻無く建設できるのである。
これが、星のように球形だったらそうはいかない。半径を伸ばすと中心の圧力はドンドンと強まるため、無限に大きくすることは不可能となるのだ。このことは、式4のXとRを同時に無限大に持って行けば分かる。X+Rとは、直角三角形の直角を挟んだ二辺と残りの斜辺ということになる。ここで、「三角形の2辺の長さの合計は、他の1辺より大きい」ということを思い出して頂ければ、g(X→∞,R→∞) = ∞となることが分かる。
結局の所、XもRも無限にしてしまうと、いわゆるオルバースのパラドックスに陥るということだ。

話を戻して、無限に連なっている亀の上に住んでいるとしても、普通に生活出来るし、構造上も建設可能なので、物理的には何の矛盾も無いのだが（「何でそんな宇宙やねん」という疑問は物理では答えられない）、もしも、そうだとしたら地上の端があることになる。コロンブスの時代では、その先から落ちることを船乗りが怖がったそうだが、確かにこれは怖い。端から落ちると、無限の亀の連なりを横目に見ながら無限に落ちて行くことになるからだ。本当に無限に作ってあるか否かは神のみぞ知るというところである。

…ちなみに、この文章も明確なオチは無いので悪しからず。