白色彗星とは？

知っている人は知っているが知らない人は全然知らないと思われるので、最初に説明が必要だろう。あらすじはWikipediaの説明を見て頂くとして、問題なのはその彗星の形状である。

白色彗星と言っても、実際は白色状の霧のようなものをまとっているだけで、その中身は移動する要塞都市という設定になっている。どこまでが本当の星で、どこまでが人工建造物なのかよく分からなかったりするが、大まかに言えば、彗星の下の部分はクレーターだらけの、月や水星のような星の形。一方、上部はビルが林立する過密都市といった風体である。要するに、この星には上下があるのだ。

通常の星ならば球体で、その表面に都市が形成される。球体であるから、密度的に偏りとか無ければ、重力の中心は球体の中心に一致しており、その表面に働く重力は常に地面に対して垂直向きである。もっとも、実際には話が逆で、地面に対して重力が垂直でない場合、その場所ではナナメの重力がかかっているのであるから、常に土砂崩れの危機がある。それらが全て崩れてしまった状態というのが、球体の星なのだ。
さて、白色彗星のような形状の場合、都市部地面は平坦であるが、中心を除いて重力が地面に対して垂直ではないだろう。特に都市部の縁に住んでいる住民は大変だと思われる。

彗星の形状を簡略化する

都市部の重力を知るには、まず、星の形状や状況を正確に把握しなければならない。まあ、こういう場合は、とりあえず一番簡単な形状と状況を設定するところから始めるのが常である。
話が飛ぶが、物理の超発想という本の冒頭に書かれているジョークネタが面白いので紹介しておく。

物理学者と工学者と心理学者の三人が、生産の上がらない酪農場にコンサルタントとして招かれた。まず三人は経営状況について調べたあと、順番に呼ばれて意見を述べることになった。
最初に呼ばれた工学者は、こう答えた。
「牛舎を小さくすべきです。牛をもっと詰め込んで一頭あたり八立方メートルくらいにすれば、効率はずっとよくなるでしょう。それから、搾乳管の直径を四パーセントほど大きくして、牛乳の平均流出量を増やすことです」
心理学者はこう提案した。
「牛舎の内側を緑色にしてみてはどうでしょう。緑は茶色よりも牛の気分をほぐしますから、乳の出がよくなると思います。それに、牧草地にもっと木を植えて、牛が草を食べるときに退屈しない風景にしたいですね」
最後に物理学者が呼ばれる。彼は黒板を用意してほしいと頼み（黒板は絶対に必要だ！）、マルを一つ描いた。
「まず、牛を球と仮定します……」

いやもう、全くその通りで、本当ならば、星の形は球が一番なのだが、今回の考察は球でないからこそ意味があるわけで…。そこで、球の次に簡単だと思われる半球で考えてみる。要するに、球を半分に切り、その平らな面に人が立った場合、どのような重力を受けるかということだ。
ただし、なるべく手を抜くために、球体の対称性は利用したい。どうするかというと、球は半球が2つくっついた形であるから、まずはその隙間に観測者がいると考える。その後で、上部の半球が無かったらどうなるかを考えることとする。

星が球体の場合、話は簡単で、球全体の質量が中心に集まった場合と同等の重力場が星の周囲に形成されることとなる。星の半径をRとし、星の密度は何処も同じでρだとすれば、中心から距離rだけ離れた周囲に働く重力gは、
ただし、
で表されることとなる。

ただし、この式はr ≧ Rのときに成り立つもので、今回のように内部に入り込む場合は、球の中心から半径rの球を考え、その外側の球殻が及ぼす重力は0と考える必要がある。要は半径rの内側だけを考えればよいので、とすればよく、その結果、が成り立つ。要するに、中心からの距離rに比例して重力が強くなるわけである。

では、この球が半球が2つくっついたものであるという視点で考察する。上下の半球は互いに対称で同形なのだから、それぞれの半球からの重力は同等の大きさと向きを持っている筈である。
さらに、互いの半球からの重力を、半球の平らな面に対して鉛直方向と水平方向に分解すると、鉛直向きの重力は互いに相殺され、水平向きの重力は足し合わされて2倍になっている。そして、その水平向きの重力の合計が、中心からの距離rに比例する重力として残っていることになる。
そうすると、半球が及ぼす水平向きの重力も、中心からの距離rに比例することになる。

この考察では、重力の水平方向成分（半球の平らな面に平行な方向の重力成分）は説明出来るが、相殺される鉛直方向成分の大きさについては分からない。これを知るには地道に3重積分を解かねばならないと思われる。

結局、白色彗星上の都市は、花が開いたようにビルが林立する形になるだろう。図に描かれたビルは直線的だが、ビル自身がナナメに立っているので、上部にいくほど、さらに傾けねば釣り合いがとれないと思われる。そうすると、本当に花びらが開いたようになるのではないだろうか？

また、都市部地面…、すなわち、半球の平らな面にボールを載せてそっと手を離すと、ボールは地面を単振動することになる（もちろん、ビル群にぶつからなかったらの話だが）。あるいは、ボールに初速を与えれば、色々な軌道を与えることが可能だろう。都市部の外周を円運動させるようなこともできる。
また、実際にこの上を歩くと、あたかも、中心部からゴムひもで引っ張られるように感じるだろう。見た目は真っ平らなのに、中心から離れるほど前かがみになるわけである。

ただ、やはり住み辛いことは否めない。端にいくほど重力方向がナナメになるのは仕方が無いとしても、ビルまでもがしなるように曲がっているのは戴けない。何とか真っすぐになる方法はないものだろうか？

回転させれば万事解決！

実は非常にうまい方法がある。要は、中心からの距離rに比例する水平向きの重力成分を打ち消しさえすればよいのである。ここで、さらば宇宙戦艦ヤマトに出てくる白色彗星を今一度思い出して頂きたい（まあ、見ていない人は、思い出せないが）。上部の都市部と下部の彗星部の間にはグルっと円周を一回りする回転部が存在するのである。映画ではこの回転部から巨大なミサイルが射出されていたりするが、思うにこれは戦闘時の利用法なのではあるまいか。
すなわち、平時においては、この回転部を回転させることによって、彗星本体を逆回転させ（角運動量の保存による）、重力の水平成分を打ち消していると考えられるのである。
ここで、彗星の角速度をωとすれば、回転による遠心力fは、
f=mrω²
であり、これも中心からの距離rに比例する力であるから、ちゃんと重力の水平成分を打ち消すことができる。
また、重力の水平成分が0となるように回転させた場合は、都市部地面の水平方向の結合力が無くなるわけだから、地面が外向きへ流出しかねないが、そこに回転部というタガがはまっているのである。まさに、一石二鳥。実にうまく出来ているものだ。

ただし、この釣り合いは、厳密には都市部の地面のみで成立するものであるから、あまりに高いビルを立てると、上層部では回転による遠心力が勝ってしまう。よって、特に外周部付近には高いビルを建てるべきではない。
実際、さらば宇宙戦艦ヤマトに出てくる白色彗星の都市部は、中央付近に高いビル群が林立しており、このへんの考証をちゃんとやってあるかのごとくできているところが偉い（ちゃんとやったのかどうかは知りませんけど^_^;）

厳密解は面倒くさいよ

ここまで来たのなら、どうせなら都市部地面上およびその上空の実際の重力場を計算で求めてみたくなるか、これが結構ややこしい。ただ、方法自体の考え方はそれほど難しくないと言えるので、紹介だけしておく。

まず、この半球彗星の半径をRとし、星の密度は何処も同じでρとしよう。半球の平らな面の中心を原点Oとし、観測者がいる点をObs.とする。OとObs.の間の距離はrである。そして、OからObs.へいく線をx軸とすれば、それに水平に直行する軸がy軸となる。原点Oを通り平らな面に垂直に伸びる軸はz軸である。まあ、ごちゃごちゃ言わんでも図を見れば一目瞭然であろう。Obs.にかかる重力を求めるには、半球の各点からの万有引力の総和を求めなければならない。
まず、半球の平らな面からzだけ下がった場所で水平に厚さdzで面を切り止る(黄色い円盤)。この円盤の半径は、ということになる。
続いて、この円盤上をx軸方向へxだけ移動した場所を考え、y幅に平行に厚さdxで短冊状に切り取る。この棒の長さは2ということになる。
残るはy軸方向のみで、yだけ移動した場所で、幅dyだけ切り取れば、それでdxdydzの微小な立方体が出来上がるので、後はこれを積分すればよい。最終的に観測者にかかる重力は、

となる。また、重力はベクトル量なので、単位ベクトルを使って表したが、実際に計算する場合は、x軸方向の力とz軸方向の力に分離して計算することになる。なお、y軸方向については、観測者がx軸上にいるという設定上、足し合わせると消えてしまうので、求める必要がない。

本気で計算するには、xyz座標ではなく、極座標を使った方がよい。例えば、最初に行うべき、長さ2の棒（ピンク色の棒）からの重力を計算するには、Obs.を原点とし、そこから棒の中点に下ろした直線を基準として、左右に角度θに振り分けて積分すると簡単に求まる。上記したように、y軸方向のベクトルの総和は0なので分かりやすい。そうすると、このピンクの棒からの重力は、棒の中点にある質点からの重力と還元出来る。つまり、黄色い平面全体がx軸に平行に走る線（点線で書かれている線）上に集中していると考えて差し支えないわけであり、Obs.を原点とし、そこから黄色い平面に下ろした直線を基準として、同様な計算をすればよい。
ただし、今度は、線上の各質点と見なした部分の密度が違うことになるので、計算がややこしくなる。

私はこのへんまでの計算をおこなった時点で挫折した。発想は簡単だが、ややこしいのである。最終的な計算結果そのものは、半球という対称性の良さも手伝ってある程度わかるのだが、根性がある人は挑戦してもらいたい。

私なら数値実験に走っちゃうけど。