はじめに

このネタは数年前（2003年頃？）に松田卓也先生から「シャトルの時計は遅れているそうです。GPS衛星では進んでいるので、どこかで関係が逆転している筈ですね」という趣旨のMailが来たことに端を発している。その時は、サッサと逆転の位置を計算してMailで返してすっかり忘れていたのだが、あるブログを見てそれを思い出した次第。

そういうわけで、本稿の最終目的は、どの高度で地上と時間の進みが一致するか？ を求めることにある。
少なくとも、シャトルの高度（地上300km程度）より高く、GPS衛星の高度（地上20000km程度）より低い筈。答えを見る前に、どのくらいの位置か想像して見て下さい。

ちなみにこの話は、「相対論のもっと正しい間違え方」の注釈にもサラッと書いてある…というと、「いつそんな本が出たのだ」と言われそうなのだが、実は出ていない。
でも、原稿の叩き台だけは3年前位に書いたので、私個人に取っては既成事実だったりするのである。

衛星軌道を巡る物体の時計と地上の時計

一言で“相対論的な効果”と言っても、2種類ある。すなわち、地上の観測者に対して凄いスピードで運動していることによる特殊相対論的な効果と、地上らか遥か上空に位置していることによる一般相対論的な効果である。
前者は地上より時計を遅らせる効果があり、後者は地上より時計を進める効果があるので、それぞれの増減を加味しないと、地上と比べて最終的に時計が遅れるのか進むのかが分からない。幸いなことに、この2つは切り離して考える事ができるので、まずは特殊相対論的な効果から考えることとしよう。

特殊相対論的効果は、観測者と観測される対象物との相対速度によって決まるので、まずは、シャトルなり人工衛星なりの速度を調べる必要がある。…といっても、シャトルも人工衛星もエンジンを吹かして宇宙空間を進んでいるわけではなく、いわゆる衛星軌道に載っているだけなので、その高度が分かれば、自動的に速さが分かる。

話を簡単にするため、まずは地球の自転を無視する（最後の方に、自転の効果は少し触れる）。
地球の質量をMとし、万有引力定数をG、地球の半径をR、衛星軌道を巡っている物体（シャトルや人工衛星のこと）の地球中心からの距離をrとする。ここから、物体の速度vを算出するのだが、これは、
の関係から、
…(式1)
となる。そして、速度vによってどの程度時計が遅れるかと言えば、もちろん倍になるという事だ。

細かい人は、この関係式はニュートンの重力理論の引力を使っているので、おかしいのではないかと考えるかもしれない。厳密に相対論的な場として考えると、逆二乗の法則は成り立たず、地球に近い程微妙に強い重力を受けることとなる。ただし、これによって変化する速度は極僅かで、完全に無視することができる。どの程度なのかは後半で説明するが、地球で考えた場合は軌道が9mmくらい内側に入った程度の効果だと思って頂きたい。これについては、最後の“おまけ”で解説する。

次に一般相対論的な効果を考えよう。
一般相対論的な効果は、衛星軌道を巡っている物体が地上より上空にあることで、時計が速く進むという効果である。逆に言えば、地球から無限に離れた地点の時計の進む時間と比べると、重力の井戸の底程、時の流れが遅いということを表している。

最初の設定で地球の自転を無視したので、地球周辺の時空はシュバルツシルト時空を仮定したことになる。
すなわち、極座標系（ct,r,θ,φ）で表せば、線素dsは、
…(式2)
であり、時間に対する一般相対論的な効果のみを考えるならば、dr=dθ=dφ=0として、固有時間dτは、
…(式3)
となる。
言い忘れていたが、r_gはシュバルツシルト半径でr_g=2GM/c²、時間tは、地球から無限に遠い場所での時間である。

さて、本来ならば、dτ/dtは積分しないといけないのだが、シャトルや人工衛星が円軌道をしていると考えると、rに変化が無いので、そのままの形で積分形になる。

最初の方で「幸いなことに、この2つは切り離して考える事ができる」と書いたのはそういう事である。逆に、通常の楕円軌道（いや、一般相対論的だから近地点移動をする！）の場合はrも変わるし、速さvも変わるので一筋縄では行かない。

したがって、シャトルや人工衛星の固有時間τ_sateliteとし、r_g << rの近似を使えば、
…(式4)
が得られる。

時計の進み方が揃うのはこの高度

ここまで出たら後は簡単で、同様に地上の時計の固有時間τ_earthを求めればよい。
前提において、自転は無視するとしたので、一般相対論的な効果のみを考えればよく、具体的には式4のvを0とし、r=Rにするだけである。
すなわち、
…(式5)
ということだ。

今求めたいのは、地球を周回する物体が、どの高度で地上と時間の進みが一致するのか？ ということなので、結局のところ、τ_satelite = τ_earthとなる高度を調べればよいことになる。この高度をr₀とするならば、式4と式5から、
…(式6)
が得られる。

要するに、地球半径の半分の距離（約3200km）上空の時計は、地上の時計と一致することになるという結論が出たことになる。シャトルの高度（地上300km程度）より高く、GPS衛星の高度（地上20000km程度）より低いのは確かなようだが、この当たりの中途半端な距離って、人工衛星は飛んでましたかねぇ…？

ちなみに、地球の自転の効果を考えれば、時計と一致する高度は3R/2より少し低いことになる。何故ならば、特殊相対論的効果が僅かに出てくるため、時計の進みがその分遅れるからだ。

この計算は意外と適応範囲が広い（おまけ）

さて、話の本筋は以上で終わりなのだが、少々面白いことに気付いたので、余興ついでに述べておく。

ここで行った計算は、r_g << rの近似を使っているので正確ではない。簡単に言えば、2次以降の項は落としているので、単なる1次近似でしかない。であるならば、地球上のような一般相対論的効果がほとんど効いてこないような事象ならば使えるが、強い重力場中では役に立たんだろ…と思っていた。
が、ふと気付いたのである。ブラックホール近傍でも充分に使えることを…。

例えば、シュバルツシルト半径の少し上を考えよう。もう、ほとんど重力無限大という、これ以上に無い強重力場である。当然ながら、ここでの時間経過はもの凄く遅い。r_g << rじゃ無くて、r_g ≒ rなのだから当然である。
経過時間がほとんど0という極限に対抗し得る衛星軌道の物体を考えると、それはもうほぼ光速で巡る衛星しかあり得ない。結論だけ述べると、シュバルツシルト時空で安定した衛星軌道というのは、正に3r_g/2までであり、そのもっとも最小の軌道を回れるのが光なのである。
すなわち、固有時間τがほとんど0という極限状態においても、式6は成り立っているのである。

ここまで気付くと、さらにもう一つ気付くことがある。
シュバルツシルト半径r_g=2GM/c²上は重力無限大であるが、ニュートンの重力理論の場合、重力を無限大にするためには、r=0の極限を考えなければならない。
ニュートンの重力場で考えて、無限小（r→0）の空間に質量Mの物質が詰まっているとする。この時、「衛星軌道の物体の速さが光速となる高度rはいくらか？」を考えてもらいたい。もちろん、あくまでも、ニュートンの重力理論においてである。
話は単純で、要は式1で、v=cとし、rを求めればよいことになる。答えは、r=GM/c²=r_g/2となる。

つまり、「シュバルツシルト時空内のシュバルツシルト半径に相当する空間を（質量はそのままで）ごっそりと切り取って縮めたものが、ニュートンの重力場近似になる」ということである。

前半の方で、地球の重力場におけるニュートンの重力場のズレが、軌道が9mmくらい内側に入った程度の効果と書いたのは、こういうことだ。地上における重力場は、ニュートンの重力理論ならば、GM/R²なのだが、実際はMは同じでRが9mm小さい程度で計算した分だけ重力が強まっていると考えても、大きくは外れていない…ということである。9mmというのは、地球を縮めてブラックホールにした場合のシュバルツシルト半径である。

このように考えると、地球の大きさをmm単位で測るというnoteの方に書いたネタが生きてくる。逆に言うと、この程度の精度をもっているからこそ、GPS衛星は相対論的な効果を考慮する必要があるのだ。

個人的に、このような近似は今まで気付いていなかったので、中々面白かったが、私が気付くようなことは、先人がとっくに述べているに違いないので、ちょっとググって見たら…疑ニュートンポテンシャルというのがあった。
なるほど、

そのままやんけ

提唱されたのが1980年だから、27年後の再発見ということだ。それなら、カー時空の疑ニュートンポテンシャルでも提唱すれば…と思ったが、こちらは90年代半ばに発表されているらしい。まあ、どのみち近似なので、あまりとやかく言っても仕方がない。
じゃあ、次は富松・佐藤解の疑ニュートンポテンシャルを…。もうええっちゅーねん。