はじめに

あるBBSで、2台のロケットのパラドックスについての議論が起こっていた。まあ、よくあるパターンで、質問者だけが分かっておらず、後は皆分かっているという展開であったが、中々面白い議論が含まれていた。この手の議論は、こんにゃく問答に似通ったところがある（ただし、問答をする話者の立場が逆だが）。

要するに、質問者は大抵の場合、基本的なことが分かっていない場合が多く、回答者が示す答えが分からない。そのものズバリの回答をしているにも関わらず分からないのである。ただ、これは仕方が無い部分も多分にあって、あまりにレベルが違うと何が何だか分からないのである。
例えばディラックにとっては一目見ただけで自明なことでも、私にとっては数日あーでもない、こーでもないと計算用紙と格闘してやっと理解出来ることだってある。著名なSF作家A.C.クラークは、充分に発展した科学は魔法と区別がつかないと言ったそうであるが、あまりにもレベルの違いすぎる回答は、それが回答であることすら分からないのだ。まあ、そんなもんである。

そういうわけで、この手の議論は、質問者のレベルに合った回答はつまんないのであるが、質問者と回答者のレベルの隔たりが大きければ大きい程（こんにゃく問答度が高い程とでも言おうか…）面白いのである。質問者には悪いが、そういう回答者の回答の方が興味深いことが多い。質問者が置き去りにされて、回答者同士が議論を始めたりすると、さらに面白くなる。今回の議論もそういうものだと言える。

2台のロケットのパラドックスのおさらい

今一度、2台のロケットのパラドックスとは何かを述べておく。
全く性能が同じロケットが2台あるとする。最初、このロケットは互いに、距離L、相対速度0で静止しているとしよう。さらに、このロケットに対して静止している外部の観測者を考える。ある時、このロケットが外部の観測者からみて同時に加速し、同時に加速を終了したら、その間隔は、外部の観測者からみてどう観測されるかというのがそもそもの設問である。

で、この設問をみて「そんなもん、距離Lのままやがな。どこがパラドックスやねん」と思った方も少なからずいると思う。その感性は正しい。ただし、こう回答する人には2組に分かれると考えられる。

1組目は、特殊相対論について知らないか、あるいは興味が無い人である。この場合は、このパラドックスが何故議論を引き起こすかがよく分からないだろう。多分、これから述べる話を読んでもつまらないと思う。

2組目は、特殊相対論をよく分かった方である。ただし、特殊相対論の計算が完璧にできるという意味ではなく、完全に理解しているという意味において、分かっている人である。このヘンが中々難しい。以前、松田卓也先生が、この問題を様々な物理学者に質問したところ、半分くらいの人が誤答したり回答に詰まったと述べている。Mailでそのメンバーの名前も聞いているのだが、「えーっ。あの大御所がぁ！」という名前も含まれていて、ちょっとびっくり。もちろん、分かっている人は即答で正解を言い当てたという（例えば、佐藤勝彦先生など）。このような、よく分かっている人がこれから述べる話を読んでもやっぱり、つまらないと思う。

そういうわけで、以下に述べる話は、分かってない人にはつまらなく、かつ、分かりきった人にもつまらないので、その隙間のビミョ〜に分かっている人限定という話になる。よって、決してメジャーになれないパラドックスだと言うことになろう。

まあ、大抵のパラドックスと言われているものは、そんなものだろう。特に、『一見するとパラドックスだが、少し考えるとそうじゃない』という見かけのパラドックスはその傾向が強い。

気を取り直して、話を進めることとする。既にお分かりだと思うが、この設問の回答は、「距離はLのまま」というものである。何しろ、最初の位置以外は何一つ違わない運動をする2台のロケットなのだから、どんな加速をしようとも距離が変わるわけは無いのである。ニュートン力学であろうと、相対論であろうと、これは変わりない。
これを示すには時空図というものを書くと分かりやすい。こういうと何やら難しそうだが、要は、横軸に移動距離、縦軸に時間を示したグラフである。もっとも、縦軸の時間には係数として光速cがくっついているが、それ以外は中学校で出てくるようなグラフと変わらない。

ロケットAとBは最初、相互に止まっていて、なおかつ、第三者である外部観測者から見ても止まっている。そして、その間隔はLだ。
ある時（t=0の時）、ロケットAとBは同時に加速を開始する。外部観測者から見れば、2台のロケットは加速中に速度を増していくように観測するが、瞬間瞬間の速度は同一であるから、その間隔はLのままだ。
最終的に、外部観測者から見て同時にロケットの噴射が終わると、その速度は2台とも同じである。もちろん、その間隔A''B''もLのままである。実に単純明快な話である。

で、この設定に対する典型的な誤答というのが、「ロケットの間隔は、その速度に応じてローレンツ収縮をする筈だ」という回答である。

確かに、多くの…いや、ほぼ全ての相対論の教科書および啓蒙書には、高速で飛ぶ物体はローレンツ収縮をすると書いてある。今回の場合もロケットが高速に移動を開始したのだから、ローレンツ収縮をしている筈だという主張である。この意見は半分正しい。もしも2台のロケットが、加速によって変形したり壊れたりしていないのであれば、ロケット自身はローレンツ収縮していると、外部観測者から観測されるだろう。
最終的に変形したり壊れたりしないという条件は、ロケットの固有長が変化しないということである。物体はある一定の大きさがあり、少し伸ばしたり縮めたりしても、力を加えるのを止めれば元の長さに戻っていく。このような性質が備わっている物体ならば、加速途中で多少変形しようとも、最終的には自らの持つ固有の長さに戻っていく。そして、その長さを外部観測者が測ると、ちゃんとローレンツ収縮をするのである。逆に言えば、ロケット搭乗者から見ると、加速中はギシギシと音を立てて僅かに縮んだりしているかも知れないが、加速が終了して静寂が訪れると、その長さは変化していないことになる。
加速後のロケットを静止と見るロケット搭乗者と、ある一定の速度で移動していると見る外部観測者とで、長さが違って見えるということは、相対論の啓蒙書にもよく書かれていることなので、ここではこれ以上触れない。

では、ロケット自身の長さではなく、ロケット同士の間隔はどうなるであろうか？…というのが本パラドックスの主題である。この場合、その間隔が少し開こうが縮まろうが、その間隔を復元させようとするような抗力は全く働かない。間に何も繋がりが無いのだから、当然の事である。2台のロケットは、それぞれ個別のロケットエンジンによって加速されるのであり、ロケット同士の加速が外部観測者からみて完全にシンクロしていようとも、それは全くの偶然であると言っても過言ではない。もちろん、このような加速をさせるためには綿密な計画が必要となるが、それは計画立案者が仕組んだものであり、ロケット同士に何の繋がりもないことに変わりはないのである。Fig.1を見れば明らかだが、外部観測者からみてAB間の距離がLならば、A'B'間もA''B''間もLである。

では、この実験をロケットの搭乗者の立場で考えるとどうなるであろうか？

この場合、加速後にロケット間が伸びていることになる。ロケットの搭乗者は加速前はもちろんのこと、双方のロケットの加速が終了した後も、2台のロケットは静止していると観測する。加速前後で属する慣性系は異なっているが、2台の相対速度がゼロであることに変わりはないからだ。視点を変えて、外部観測者の立場で考えると、2台のロケットはある一定の速度で間隔Lのまま移動しているのであるから、間隔がローレンツ収縮をした結果、Lとなっていると考えるであろう。そうならば、ロケットの搭乗者の立場では、ローレンツ収縮する前の間隔が観測されている筈であるから、それは当然、Lより長いのである。
…とここまでの説明で、

ちょっと、まてぃ！

と感じられた方も多いと思う。さっきまで散々、ロケット同士に何の繋がりもないとか述べ、それを論拠にローレンツ収縮の入る余地はないみたいな論法を取っていたのに、間隔がローレンツ収縮をした結果などと、二枚舌を使っているではないか…と感じなかっただろうか？
まあ、ワザとそう受け取れるように仕組んだ部分もあるが、このヘンの状況がパッと分かるかどうかで、ローレンツ収縮をちゃんと理解出来ているかどうかが分かるのではないかと感じている。

加速後のロケットを静止と見る慣性系からみて、その間隔がLより伸びていることを示す方法は複数ある。もっとも分かりやすいと思われるのは、ロケット加速後の慣性系にずっといる観測者を持ち出して、その観測者の立場では、2台のロケットの加速は同時ではないという説明だと思われるが、これは冒頭で述べた2台のロケットのパラドックスの論文に図入りで詳しく乗っているので、説明は省略する。

その代わりに、ロケットBの搭乗者の立場で、ロケットAの運動をどのように観測するかを示すこととしよう。この観測者にとって、2台のロケットの加速開始は同時である。Fig.1ではA'およびB'で同時に加速を開始することが示されている。問題はその後である。ロケットBの搭乗者は（もちろん、ロケットAの搭乗者もであるが）、次第に速度を上げてゆくことになり、瞬間瞬間で慣性系を乗り換えていくことになる。そうすると、距離的に離れているロケットAとBでの同時刻の線が、Fig.1で示されたx軸線に平行な線と異なってくるのである。例えば、ロケットBが加速を終了するB''と同時なのは、ロケットBの搭乗者から見れば、A'''であって、A''ではない。B''とA''を同時と見るのはあくまで加速前の慣性系に留まり続けた外部観測者なのである。

ちなみに、B''A'''の線を伸ばした先に、原点Oが書かれているが、これはそうなるようにロケットBの軌跡を調整して描いているのであって、通常はこうはならない。あるロケットの軌跡を表す時空図上の任意の点を取り、その点と原点とを結んだ直線が、ちょうど同時刻線となるようにするには、ロケットの軌跡は、x²-(ct)²=D²でなければならない。Dはt=0の時の原点とロケットの距離で、Fig.1の例ではOB'がこれに相当している。

そうすると、ロケットBの搭乗者は、加速途中で、ロケットAの加速終了時A''を見てしまうのである。すなわち、ロケットBから見れば、ロケットAはさっさと加速を終了してしまうため、その分早く最高速度に達し、ドンドンと離れていく。その速度に追いつくのは、ロケットBの加速終了時B''であり、ここへきて、ロケットAとBはようやく、再び互いに静止と確認することになる。要するに、ロケットBの搭乗者にとって、ロケットの間隔が開くのは、ロケットAが先行逃げ切りをするからである（いわゆる、そのスジの用語で“かまし先行”というヤツ^^;）。

ロケット搭乗者から見て距離が変化しない加速（ボルンの剛体）

さて、加速前の慣性系に留まっている外部観測者の立場で、常に間隔Lで加速した2台のロケットは、ロケット搭乗者の立場では間隔が開いてしまうということを理解して頂いた上で、次に話を進めることとする。

外部観測者からみて、2台のロケット間隔が変化しない状況というのは、時空図上でロケットの軌跡を1つ描いた後に、x軸方向に平行移動して同じものをもう1本描くことで表現できる。これはFig.1を見返せば一目瞭然であろう。
これが分かると次は、ロケットの搭乗者からみて2台のロケット間隔が変化しない状況というのはどういうものかを知りたくなってくる（なりませんか？）。

ロケットBの搭乗者からみてロケットの間隔が開く原因は、ロケットAが短時間でさっさと燃料を使い果たして最高速度に達し、先行逃げ切りをするからなのだから、ロケットAの燃料噴射量を加減して弱めにし、噴射時間を伸ばすことで調整出来る筈である。要は、細く長くである。
これを具体的に時空図にしたのが、Fig.2だ。予め述べておくが、B'''を加えた関係上、B''の位置がFig.1と異なっているので注意して欲しい。
ロケットAとBは、同時に加速を開始する（A'とB'）のは同じだが、ロケットAのエンジン出力が弱いので、外部観測者からみると次第にロケットBがロケットAに追いついていくのが観測され、かつ、ロケットAの加速期間が長いことを観測する。最終的にはロケットAとBは同じ速度になるのだが、加速前後を除きロケットBはロケットAより常に速いと外部観測者は観測することになるため、最終的なロケットの間隔L'は縮んでいる。
これに対し、ロケットBの搭乗者（ロケットAの搭乗者もであるが）は全く別の見解を示す。ロケットは加速中にどんどんと慣性系を乗り換えながら移動して行くため、同時刻を表す線が時々刻々変わることになる。加速直前の同時刻線はA'B'であったが、その後A''B''となり、加速終了直後にはA'''B'''となるという寸法だ。外部観測者から見れば、A''と同時なのはB'''あるが、ロケット搭乗者からみてA''と同時なのはB''なのである。

Fig.1の時に既に述べているが、このFig.2でもロケット搭乗者からみた同時刻線が原点Oを通るように描いてある。Fig.1では、この条件はロケットBの軌跡のみに当てはまっていたが、今回はロケットAとBどちらの観測者の立場で見てもそうなっている。要するに、
x²-(ct)²=(OA')² … A'→A''→A'''間の双曲線
x²-(ct)²=(OB')² … B'→B''→B'''間の双曲線
の2本が描かれている。
なお、同時刻線と2つの双曲線の交点におけるロケット同士の速度は全て同じである。要するに、A''とB''は同じ速さ（同じ傾き）となっている。もちろん、A'''とB'''もである。

さて、このようなロケット搭乗者から見て間隔が変化しない運動について、少し歴史的な経緯も述べておこう。ここの議論では、2台のロケットの話となっているが、AとBの間にいくらでも線を引くことは可能で、それら全ての間隔が変化しないように調整することもできる。そうすると、AとBの間に隙間無くロケットを配置することができ、あたかも1本の巨大なロケットのようにできる。そして、その巨大ロケットは、外部観測者からみれば明らかに縮んでゆくロケットであるが、ロケットに乗り込んでいる搭乗員達からみれば、長さが変化しない巨大な連結ロケットと見なされる。
このように、ある物体と一緒に移動する観測者からみて、その長さが変わらないと観測される物体をボルンの剛体と呼ぶ。アインシュタインが特殊相対論を発表（1905年）した後、相対論的な質点の力学を考えたのはプランクであった（1906年）が、その後、剛体の力学を創設しようと試みたのがボルンであった（1909年）。
既に述べたように、このロケット群の軌跡は全て、x²-(ct)²=D²という軌跡である必要がある。例えば、巨大な連結ロケットのある1台の運動をx²-(ct)²=(OB')²と決めてしまったら、それで共通の原点が決まってしまうので、他の全てのロケットの運動が一意に決まってしまうのである。Fig.2の例では、ロケットBの加速度が決まってしまったら、ロケットAの加速度には選択の余地が無い。このことは、ヘルグロッツやネーターが証明している（1910年）。

ちなみに、ヘルグロッツはあのヘルグロッツであるし、ネーターはあのネーターの兄である。なんのこっちゃ、よう分からんという人は、詳しく説明しても分からんと思うので、読み飛ばして欲しい(^_^;)。

外部観測者からみて縮み、ロケット搭乗者からみて開く間隔とは？

ここまでの考察で、2つの立場から見たロケット同士の間隔を不変とする運動を述べてきた。1つ目は、加速前の慣性系にずっと居続ける外部観測者の立場、2つ目は、ロケット搭乗者の立場である。この違いは、要するにFig.1とFig.2の違いなのだが、図を見比べれば分かるように、ロケットBに関しては全く同じである。…というか、ワザと同じにした。違いはロケットAの軌跡ということになるが、ここでの違いも実はほんの僅か加速度が違うだけなのである。

何度か述べているように、ロケットBの軌跡はx²-(ct)²=(OB')²と描けるのだが、このロケットBは搭乗者にとって常に同じ加速度を感じる加速をしていると暗黙のうちに仮定している。実は、そのような運動でなければ軌跡は双曲線にはならない。そして、その加速度をa_Bとすれば、OB'=c²/a_Bという関係が成り立っている。詳しい導出等は『相対論の正しい間違え方』あたりを見て頂くとして、話を進める。

まず、外部観測者でロケットの間隔が変化しない場合、ロケットAとBは、外部観測者からみて全く同じ運動をするのであるから、加速中のロケットAの加速度をa_Aとすれば、a_A=a_B=c²/(OB')である。
続いて、ロケット搭乗者の立場でロケットの間隔が変化しない場合では、a_A=c²/(OA')となる。ロケットの配置からして、OA'>OB'であるから、前者の方が後者より大きな加速度となる。

ここから、加速中のロケットAの加速度a_Aを次の3つに分類しよう。

1. a_A < c²/(OA')
2. c²/(OA') ≤ a_A ≤ c²/(OB')
3. c²/(OB') < a_A

まず1.は、ロケットAの加速が弱いことを示していて、外部観測者からみても、ロケット搭乗者からみても、ロケット同士の間隔が縮んでいくことを表している。
ひとつ飛ばして、3.は、ロケットAの加速が強いことを示していて、外部観測者からみても、ロケット搭乗者からみても、ロケット同士の間隔が開いていくことを表している。
では、2.はどうかと言うと、ロケット同士の間隔が、外部観測者からみて縮み、ロケット搭乗者からみて開くという非常に奇妙な現象を引き起こすことになるだろう。まあ、理論的に説明を追ってゆけば、それほど奇妙なことはなく、当たり前の結論なのだが、いきなり聞かされると「本当か？」と思える結論ではなかろうか。

一様重力場の正しい間違え方（おまけ）

話は一応これで終わりなのだが、せっかくここまで書いたのだから、もうひとつネタを披露しておく。

ロケットBの搭乗者は、加速期間中は一定の加速度を受けている。これを重力と扱ってよいというのが、いわゆる一般相対性理論で出てくる等価原理である。そうすると、ロケットBの搭乗者は、a_Bという重力場の中におり、エンジンを吹かし続けることで、空間の1点に留まっている…という見方ができる。
ロケットAは遥か上空に存在し、エンジンの吹かし具合で、落下をしてきたり、上昇したり、時には噴射を調整して距離を保ったままでいることになる。ロケットBの搭乗者にしてみれば、宇宙空間はどこもかしこも重力a_Bが一様に働いている一様重力場だと考えるだろう。これは、ロケットAが存在している空間においても例外ではない。ロケットBの搭乗者からしてみれば、ロケットAの周辺にもa_Bの重力場が存在しており、これに抗するためにエンジンを吹かしていると考える筈である。
そうすると、次のような正しい間違いが発生すると考えてよい。

【正しい間違い】ロケットAが一様重力場a_B内で静止しているのならば、ロケットAの搭乗者もa_Bの重力を感じている

これが間違いであることは、ここまでの考察を読んでいればたちどころに分かる。ロケットAが一様重力場a_B内で静止するために必要な加速は、a_A=c²/(OA')でありa_Bより弱い。すなわち、ロケットAの搭乗者はa_Bより弱い重力を感じており、a_Bの加速を得るよりも弱いエンジン出力で、a_Bの重力場内に静止しているわけである。一見するとこれは非常に奇妙なことに思えないだろうか。a_Bの重力場中にホバリングするには、a_Bの推力でエンジンを吹かさねばならないのではないか？

この疑問に対する回答は、ロケットAはロケットBの遥か上空にいるという点に集約される。重力場内では、上空の方が時計の進み方が早い。よって、ロケットBの搭乗者の時計よりも、ロケットAの時計の方が早いことになり、ロケットBの位置で推力調整をしたエンジンをロケットAの位置へ持ってゆくと、短時間に加速する強力なエンジンとなってしまうのである。よって、時計の早まりを考慮し、弱めに調整したエンジンをロケットAの位置まで送らねばならないことが分かる。
ここまで解説すると、既にピンときた方もいると思うが、予め遅く調整した時計を積んだGPS衛星と同じ原理なのである。一様重力場だから、上空にも下空（？）にも、同じ型のロケットを配置すれば全て静止したロケット群ができるかと言えば、そうはならず、次第に離れていくロケット群となってしまうのだ。

これは、実際の星が作り出す重力場においても、注意しておく必要のある事項である（特に、非常に重力の強い星を想定しているのならば）。例えば、あなたが地球上で重力測定をしたとする。その値が正確に9.8[m/s²]だったとしよう。ここで、加速調整ダイヤルが付いたロケットを用意する（ダイアルが示す数値の加速をするロケットだと考えて頂きたい）。このロケットのダイアルを正確に9.8に合わせれば、ロケットは地上付近で浮いたまま静止していることになる。
この実験を、地球から離れた観測者がみたとしたらどうだろう。望遠鏡で見ると、確かにダイヤルは9.8を示している。さらに、ロケットの現物を取り寄せて精度チェックをしても、正しい推力が得られているとする。しかし、地球から離れた観測者は地球上の重力を9.8より小さいと判断するだろう。何故ならば、この観測者からみた場合、地球上での時計の進み方は遅く観測されるため、結果的に噴射しているガスの単位時間当たりの流量が減っていると考えるからである。

少し話を大げさにして、ブラックホールのシュバルツシルト半径の少し外側を考える。シュバルツシルト半径r_gはその星の質量をMとし、万有引力定数をGとすれば、r_g=2GM/c²で表される半径である。通常、シュバルツシルト半径付近ではとんでもなく重力が強いと思われているが、例えば、Mが無茶苦茶大きかったらどうであろうか（銀河1つ分とか）。ニュートン力学では、引力はg=GM/r²であるから、この式にr_gを代入すれば、g=c⁴/(4GM)となる。大規模銀河の質量は太陽の1兆倍（10⁴²[kg]程度のオーダ）くらいあると見られているから、これがそっくりそのままブラックホールになったとすると、そのシュバルツシルト半径付近の重力は、ほぼ地球上の重力のオーダとなる。

例えば、何らかの理由で、このシュバルツシルト半径の少し内側にロケットがワープしてきたとしよう。シュバルツシルト半径は目の前で、その場の重力が地上と同じくらいであったならば、頑張ってエンジンを吹かせば、シュバルツシルト半径の少し内側から少し外側へ出られるかも？と感じるかも知れない。ところが、これは不可能なのである。
シュバルツシルト半径付近の重力が地球上の重力のオーダになると計算したのは、あくまでもブラックホールから遠く離れた観測者の視点である。実際に、シュバルツシルト半径付近にポンと投げたされたロケットがその場で停止するためには、いきなり無限の推力を発揮しなければならない。すなわち、重力無限大である。これは、地球上で重力を測ると9.8[m/s²]であっても、地球から離れた観測者にとってみればそれより小さいと判断するのと全く同じ理屈である。シュバルツシルト半径付近に、ものすごい推力を持つロケットがいたとしても、時間の進みがほとんど0では、力を発揮できないのだ。

さて、話を2台のロケットAとBに戻す。ロケットBの搭乗者からみると、a_Bという一様重力場が宇宙全体にあり、ロケットA周辺にもa_Bの重力がかかっている。それにも関わらず、ロケットAの搭乗者がa_Aの重力しか感じていないのは、そこでの時計の進み方が早いからだと説明する。ロケットAのエンジンは少し弱めに設定してあるが、時計の進み方が早い効果が効いていて、結果的にそれだけ推力が増しているためにa_Bの一様重力に抗して静止しているのだと考えるだろう。
要するに、ロケットBの搭乗者は宇宙全体はa_Bという重力に満たされているという結論を変えることは無い。

ところが、これと全く同じ主張が、ロケットAに対しても言えるのだ。ロケットAの搭乗者からみると、a_Aという一様重力場が宇宙全体にあり、ロケットB周辺にもa_Aの重力がかかっている。それにも関わらず、ロケットBの搭乗者がa_Bという強めの重力を感じているのは、そこでの時計の進み方が遅いからだと説明する。ロケットBのエンジンは少し強めに設定してあるが、時計の進み方が遅い効果が効いていて、結果的にそれだけ推力が減っているためにa_Aの一様重力に抗して静止しているのだと考えるだろう。
要するに、ロケットAの搭乗者は宇宙全体はa_Aという重力に満たされているという結論を変えることは無い。

双方の搭乗者が互いに自分が正しいと主張し始めたとしても、これは決着が出ない。一番、ものごとが分かっているのは、加速前からずっと同じ慣性系に留まっていた外部観測者であろう。

重力場なんて無い

で終わりである。かくして、三つ巴の主張合戦が始まるのである。