断熱膨張による雲のでき方の説明

雲を作る実験というのは、こうだ。
まず、フラスコと注射器を用意する。まあ、普通の家庭にはそんなもの無いから、ペットボトルと自転車の空気入れでよい。うまくすると、ペットボトルだけでもなんとかなるかも知れない。

フラスコにはあらかじめ水を入れ、内部を濡らしておく。表面に水滴が付いている程度で良いから、シャバシャバ洗って中の水は捨ててしまってよい。最終的にこのフラスコの中に雲ができるのだが、水分だけだと凝結核となるものがないので、線香の煙とかを吹き込んでおく。少量のアルコールを入れておくというのも手だ。
フラスコと注射器は図のようにチューブで継ぐ。そして、注射器のシリンダーを一気に引く。そうすれば、内部の気圧が急激に下がって温度が下がり、雲が出来る。ただ、一気に引くのは難しいので、逆の発想で実験をした方がよいかもしれない。まず、注射器を継いだら、押し込んだままにしておくのである。この場合は圧縮により温度が上がってしまうので、そのまましばらく待つ。温度が元に戻ったら、おもむろにシリンダーから手を離す。この場合は、勝手にシリンダーが飛び出すので、引き抜く必要がない。

ペットボトルを使った方法も、最初に圧力をかけておく方式である。ポンプを使ってペットボトル内の圧力を高めておき、一気にフタを開いて解放するのだ。要するにポン菓子を作る要領である…って言っても分からんか(^_^;)。何でも、この実験専用のフタがあるらしく、簡単にポンプと継がるようになっているらしい。ペットボトル・ロケット専用だったかな…。
ペットボトルだけを使った方法というのは、ペットボトルにフタをして、踏みつけるのである。この時、内部の気圧が高まるから、適当な頃を見計らって飛び降りればよい。
まあ、どの方法であっても、要は、圧力を一気に減らす作業をすればいい。

この時、雲ができる説明として、必ず言われるのが、断熱膨張による気温の低下である。“断熱膨張 雲”でググれば、イヤというほどこの説明が出てくるので、簡単に述べるが、

1. 急激に気圧が下がる
2. 熱の出入りする暇がない（断熱膨張）ので、外に仕事をした分だけ温度が下がる
3. 温度が下がって気温が露点温度以下になる
4. 露点以下になれば水蒸気が凝結する（雲ができる）

と言った寸法である。

まず、1.は正しい。正しいというか、これが前提である。よって、「急激に気圧を下げる」と言った方が正しいだろう。

2.も正しい。詳しくは後で述べるが、気体の分子運動論とか熱力学的には常識である。

3.を跳ばして4.は多少問題がある。露点以下となったとしても凝結しない場合もあるからだ。いわゆる過冷却と言うやつである。露点温度以下となっても、凝結するための核が無かったり、きっかけが無かったりすると雲は発生しない。そういう過冷却の空間を飛行機が飛んだりすると、飛行機雲ができる。ただし、今回の実験は、過冷却によって雲が出来ないという事態を防ぐために、線香の煙やアルコールを無理矢理入れているわけで、この問題点は既に知られていることになる。よって、ここにツッコミを入れるというのは相手の想定内でつまんないであろう。

ということで、ここで問題にしているのは、3.である。正確に言えば、温度がどんどん下がれば、そのうち露点温度まで達するだろうというのは正しいのだが、じゃあ、気圧の低下は影響ないの？ということだ。雲ができる説明は、気圧が下がって温度が下がるということのみを強調していて、圧力が下がる為に生じる効果については何も言及していないのである。

簡潔に言おう。気圧の低下は露点温度を低くするのだ。よって、圧力が上がると露点温度が上がって雲が出来るという理屈も成り立つのである。もちろん、この説明は間違っている。現実に圧力が下がって雲ができているのだから。
私が問題視しているのは、断熱膨張による雲の発生というのは、圧力の低下によって露点温度が下がるという効果よりも、温度が下がって露点温度へ近付く効果の方が大きいために生じているということ自体を認識していない点である。

気体から液体への相転移（相図による説明）

言葉だけで説明するとよく分からないかも知れないので、念のため、図で説明しておく。
雲ができるというのは、水蒸気という気体の状態から水という液体の状態になることに他ならない。そして、液体にするには温度を下げるか、圧力を上げればいい。
温度が下がると液体になるのは、冷たい飲み物を入れたコップに露が付くことで分かる。
圧力が上がると液体になるというのは、通常は圧力の変化で温度も変わってしまうので適当な例が見つからないが、例えば圧力釜を使えば100℃でも沸騰しないことで分かる。反対に高山では、気圧が低いので、100℃以下でも沸騰する。

温度と圧力の関係のグラフを書けば、どこかで、液体と気体の境目となる線が描ける。この線は蒸気圧曲線と言い、必ず右肩上がりとなる筈だ。ここで、雲になる前の状態がA点だとしよう。圧力は変わらず単純に温度だけ下がるとB点に行くことになり、気体→液体と変化する。要するに雲ができる。もしも、温度は変わらず単純に圧力だけ上がるとC点に行くことになり、気体→液体と変化するから、やはり雲ができる筈だ（ただし、このような状況は日常はあり得ない）。

今、問題となっているのは断熱膨張である。この変化は、温度が下がると同時に圧力も下がるから、A点の状態から左下側へと移動することになる。現実にこの断熱膨張で雲ができるのだから、A点からD点へ移動すると考えれば良い。ここで少し妄想を膨らませてみよう。断熱膨張の傾き方がもっとキツかったらどうなるか…である。例えば、A点からE点へ行くとしたら？ この場合は液体の相へ移動していないのだから、気体のままであって雲は発生しないことになる。逆に、A点からF点へ移動するようなことがあり得るならば、断熱圧縮で雲ができる可能性だってあるわけだ。

ここまで考察すると、雲が出来るか否かの境界線がはっきりしてくる。要するに蒸気圧曲線の傾きと断熱膨張曲線の傾きのどちらが大きいかなのである。A点付近の蒸気圧曲線の傾き（グラフを見れば45度位か？）に比べて、AD線は傾きがユルく、AE線は傾きがキツい（AF線はさらにキツい）。よって、双方の傾きを実際に求めて蒸気圧曲線の傾きが断熱膨張曲線の傾きより大きいことを示せば、断熱膨張で雲が出来ることを本当の意味で示せるのである。

論点が分かったところで計算開始

ここまできたら、後は実際に計算すればよろしい。問題はどこまで遡って計算しようかな〜という点だったりする。言い換えれば、想定する説明相手を高校生にするか大学生にするか、大学院生とするかという点だ。

…いや大学院生ならそもそも説明の必要なかろう(^_^;)。少なくとも、物理で熱力学を習った大学生以上ならば、以下の説明は不要かもしれない。まあ、復習のつもりで…。

で、結局、勉強のための勉強は各人やって頂くとしておいしいトコだけ説明する。

まず、圧力をP、温度をTとする。求めるのは、蒸気圧曲線の傾きと断熱膨張曲線の傾きであるから、それぞれのdP/dTを求める事となる。

蒸気圧曲線の傾きは、クラウジウス-クラペイロンの式を使う。この式の導出は、液体のモルギブス自由エネルギーをG_l、気体のモルギブスの自由エネルギーをG_gとし、蒸気圧線上…すなわち、相転移線上を移動する場合を考えて、
G_l=G_g
とできるところから始まる。モルギブス自由エネルギーの微小変化は、
dG_l = -S_ldT + V_ldP
dG_g = -S_gdT + V_gdP
とできる。ここで、Sはエントロピー、Vは体積である。ここから、

が出てくる。ここでLはモル気化熱である。なお、最後の近似は、液体の体積より気体の体積の方が圧倒的に大きい（V_l « V_g）ためだ。後は、気体の状態方程式、
PV_g = RT
を代入して、

… 式1

を得る。これが、蒸気圧曲線の傾きである。

Rは気体定数であるが、後の計算で1モル当たりから1kg当たりに換算するため、8.31[J/K・mol]ではなく、物質の分子量で変化する量となる。

続いて、断熱膨張曲線の傾きは、ポアッソンの式から入るのがよかろう。この式は、断熱過程における圧力と体積の関係を示した式で、
PV^γ = Const.
と書ける。ここで、γ = C_P/C_Vであり、C_Pが定圧モル比熱、C_Vが定積モル比熱を表す。気体の状態方程式PV = RTを考えて、定温の場合は、PV = Const.なので、断熱膨張の場合は温度が変化する分、体積の増加分が食われる形になっている。このポアッソンの式と状態方程式を組み合わせてVを消せば、

とできる。ここで、R^γは元々定数なので、Const.へ含めてしまえば良い。後は式をP=…の形に変形し、これをTで微分して、dP/dT=…の形にし、出てきた式の右辺にもう一度Pを戻してやれば、

… 式2

を得る。これが、断熱膨張曲線の傾きである。

これで役者が出そろった。要は、式1と式2の大小を調べれば良いのであるが、2つの式をジッと見ると、双方にP/Tが入っているのが分かる。双方にあるならば、P/Tの変化は大小に関係しないのだから、結局のところ、

L/(RT)とγ/(γ-1)のどちらが大きいか？

という問題に帰結されるわけである。

後は値を入れるだけ

では、早速、水蒸気の場合の値を入れてみよう。

L = 2.5×10⁶[J/kg]
R = 8.31×10³/18 = 462[J/K・kg]
T = 283[K]（= 10[℃]）
γ = 4/3

であるから、L/(RT) = 19.1であり、γ/(γ-1) = 4となって、確かにL/(RT) > γ/(γ-1)となることが証明される。

普通ならこれで一件落着で、大岡越前は帰ってしまうのだが、折角だから、他の気体の場合を考えてみよう。
例えば、土星の衛星のタイタンは、メタンの海が広がっているらしいことが分かっている（らしいことが分かるってヘンかな？）。この場合、ちゃんと、普通に雲ができるのだろうか？
実際に値を入れてみると、

L = 5.1×10⁵[J/kg]
R = 8.31×10³/16 = 519[J/K・kg]
T = 100[K]（= -173[℃]）
γ = 4/3

位だから、L/(RT) = 9.8であり、γ/(γ-1) = 4なので、水蒸気ほどは差が無いにせよ、まあ大丈夫ということになる。

もう少し考察して、例えば温度が地球並み（290[K]くらい）だったとしたら、この大小関係が逆転することになる。じゃあ、ものすごく高圧の星の下を考え、その圧力でメタンが液化しているような場合は、断熱圧縮で雲ができるのでは？と思われるかもしれない。しかし、多分それは無理だ。ちょっと確かめられなかったので、メタンの専門家（誰？）にお任せしたいが、温度が高くとも圧力をかければ必ず液体になるかというとそうではなく、臨界点という限界がある。ある一定以上の温度と圧力の領域では、気体とも液体ともつかない状態となるのである。まあ、これはこれで興味深い話なので、各人調べてもらいたい。

ちなみに、γは水蒸気の場合と同じなの？といぶかる方もおいでになるかもしれない。厳密に言うと多少違う（水蒸気で1.33、メタンで1.30）のだが、この値（比熱比という）は分子構造によって決まる値で、原子数が3つ以上の分子は、大体が4/3だと思ってもらってもいい。原子数で決まるというのは、回転軸の次元の数で決まるということである。

ここまできたら、是が非でも断熱圧縮で雲になる物質を知りたいと思うのが人情というものである。が、私は意地悪なのであえて書かないでおく。しかし、探すのはそんなに難しくない筈だ。要は、気化熱が小さくて、分子量が大きくて、割と高い温度でも液体になっているモノを考えればいい。まあ、頑張って探して、妄想を膨らませて欲しい。