連合艦隊解散ノ辞

このネタを知ったのは、Niftyのパソコン通信時代だから、かれこれ15年程前だったように記憶している。日本海海戦でロシアのバルチック艦隊を破った連合艦隊の司令長官、東郷平八郎が述べた言葉の一説の中に、

“百発百中の一砲能く百発一中の敵砲百門に対抗し得る”

という一文がある。簡単に言えば、百発撃って百発当たる大砲一門は、百発撃って一発しか当たらない大砲百門と互角であるということである。
もちろん、これは確率論的に見ればおかしいのであって、後で述べるが、明らかに百発百中の砲一門の方が不利である。

もっとも、東郷平八郎がそのことに気付かない筈はない。この一文が登場する『連合艦隊解散ノ辞』の全文を読めば分かるのであるが、東郷平八郎が言わんしているのは、形ある武器が沢山あったとしても、それを操る軍人の（無形の）実力が無ければ役に立たんから、何時如何なるときでも鍛錬を怠るなということであって、本当の意味で“対抗し得る”などとは思っていまい。

この一文は、色々と誤解されていることが多いようで、例えば“百発百中の一砲は百発一中の敵砲百門に勝る”になっていたり（対抗できるという間違いは有りがちだが、勝っちゃいかんだろう）する。
それに、この原文を作ったのは東郷平八郎ではなく、連合艦隊参謀、秋山真之中佐だと言われているし、連合艦隊参謀長の加藤友三郎が「百発一中の大砲の弾が1つでも当たれば終わりだ」と言ったそうであるから、東郷平八郎自身がこのことに気付いていない筈は無く、この表現はあくまでも比喩として見るべきであろう。

もっとも簡単な（ひねくれていない）考察

で、実際はどうなの？ と問われた場合、百発百中の砲一門が生き残る確率を答えるのが定番である。
百発一中の砲一門が1度の砲撃で相手を撃破できる確率は1%である。もちろん、百発百中の砲は1度の砲撃で相手を100%撃破できるのであるから、一対一の対戦ならば、圧倒的に百発百中の砲が有利である。

問題は、当たる確率1%の砲を百門用意して一斉に撃ったら、どれだけの確率で当たるかということだ。昔から下手な鉄砲も数撃ちゃ当たると言われているのであるから、結構大きくなるに違いない。計算方法は、百の弾が全て外れる確率を計算し、その反対を考えればよい。1つの弾は99%の確率で外れる。率で言えば0.99だ。2つの弾が外れる確率は、0.99 × 0.99 ＝ 0.9801である。100の弾が外れる確率は、
0.99¹⁰⁰ ≒ 0.366
であるから、当たる確率は、
1 - 0.99¹⁰⁰ ≒ 0.634 つまり、63.4%
ということになる。すなわち、6割強の確率で、百発百中の砲は撃破されてしまうのである。

さらに、双方の射撃は1回だけではないだろう。相手の砲全てを撃破した方が勝ちとなれば、ますます百発百中の砲一門の分が悪い。1回戦目で百発百中の砲が生き残っても、2回戦目は百発一中の砲九十九門を相手にすることになる（一門は確実に撃破している）。2回戦に生き残っても3回戦は九十八門が相手である。
要するに、百発百中の砲一門は、100+99+98+…+3+2+1 ＝ 5050発の弾をかいくぐらなければ勝ったことにならない。最後まで生き残る確率を考えれば、
0.99⁵⁰⁵⁰ ≒ 9.07×10^-23 つまり、0.000000000000000000009%
となる。こんなもん大和魂で何とかなる問題ではない。

この数字が如何に小さいかは言うまでもないかも知れないが、反対に巨大な数としてポピュラーなアボガドロ数が6.02×10²³とオーダー的に合っている（乗数が±逆なので本当は2桁近くずれているのだけど）ということを考えると、とんでもない数字だということでイメージが湧く（もちろん、全然湧かない人もいるだろうが）。

誤答を弁護する考察

ここで、百発一中の砲百門が1度の砲撃で相手を撃破できる確率が100%でなく63.4%であることに疑念を挟む人がいることに留意しなければならない。
要するに、サイコロで1が出る確率が1/6だとして、「じゃあ、6回振れば1回は1が出るね」と誤解する人が少なからずいる。実際には、1 - (5/6)⁶ ≒ 0.665であるから、66.5%の確率しかなく、6回振っても1回は1が出るとは言えない。ただし、後で統計を取れば、平均して6回振れば1回は1が出ていると言える。この2つの概念は混同しやすいため、話がややこしくなっていると考えられる。

もしも、「6回振れば1回は1が出る」と思っていた場合、百発一中の砲百門が百発百中の砲一門と同等だと誤解するのもうなづける。「100発撃てば1回は当たる」と思い込んでいるのであるから、一度に100発撃てば必ず当たるという理屈である。

これは、ロシアンルーレットに例えると分かりやすいかも知れない。6連の回転弾倉がある銃でロシアンルーレットをする。弾が1発のみならば、当たる確率は1/6である。通常は、1回引き金を引いて外れたら、改めて弾倉をカラカラと回すので、常に当たる確率は1/6だ。
ところが、弾倉を最初の1回だけしか回さないとしたなら、最初の試行が外れれば、次の当たる確率は1/5になる。そして、6回の試行のどこかで必ず当たることになる。100連の回転弾倉がある銃に1発だけ弾が入っていた場合も同様で、100回の試行で必ずどこかで当たることになろう。
TVのバラエティ番組を見ていると、ロシアンルーレットになぞらえるゲームは、どちらかというと後者の方式（最初だけ回して、後は回さない）となっている。寿司に1つだけワサビが大量に入っているとかいうのがそれだ。食べたら無くなってしまうので、そうならざるを得ない。その他、商店街の福引きも、確率が決まっているのではなく、当たり数が決まっている場合がほとんどなので、誰かが必ず当たるシステムとなっている。

よって、百発一中の砲百門が1度の砲撃で相手を撃破できる確率が100%だと勘違いする人が少なからずいると仮定すれば、その人に、「実は確率は100%でなく63.4%である」と告げれば、「じゃあ、百発百中の一砲は百発一中の敵砲百門に勝るのか？」と思う人も少なからずいるということである。この誤解を解くのは結構難しい。

expな考察

ところで、百発一中の砲百門という設定は、百という数字に必然性が無いと感じないだろうか？　強いて言えば、百という数字は区切りがいいから出された数字であって、別に、九十九発一中の砲九十九門でもいい筈だ。
そもそも百が区切りがいいと思うのは、両手合わせて10本の指を持つ人間の数学だからであって、世界一有名なネズミの国ならば、64（＝8×8）が区切りのいい数字となっていた筈である。

そうすると、この逸話は、一般解にすることができる。すなわち、『n発n中の一砲能くn発一中の敵砲n門に対抗し得る（ただし、n>1）』である。

この場合、nの弾が外れる確率p(n)は、
p(n) = (1 - n^-1)ⁿ
である。もちろん、p(100) ≒ 0.366だと言うことだ。

何でも一般化しようと試みるのは数学屋や物理屋の悪い(？)癖である（私は数学屋でも物理屋でもないけど^^;）。アインシュタインが特殊相対論を一般化したように。そして、それにワイルが一般座標の線素まで一般化し、内山がゲージ化したように…である。これに対して、工学屋さんは、むしろその逆で、なるべく人がやらない特殊な状況下での現象を欲するような気がする（物理屋の中でも実験屋はそうかな？）。

ここで、nを100からもっと増やして1000とか10000にしてみたらどうか？
千発一中の砲千門、さらに、万発一中の砲万門という具合。計算すれば分かるが、p(100) ≒ 0.366とほとんど変化がないことが分かる。そして、最終的に、

p(∞) = e^-1 ≒ 0.368

が出る。確認は二項定理とか使って頑張ってみてね。

そういうわけで、百砲が千砲になろうが万砲になろうが、p(n) = (1 - n^-1)ⁿという条件を満たしている限り、当たる確率はそれほど変わりがない。ただし、この確率は、1度の砲撃でn発n中の砲一門が生き残る確率である。これを忘れてはならない。
もしも、n砲の相手を殲滅するまでの確率を求めるとした場合、百砲より千砲、千砲より万砲を相手にする方が分が悪い。n発n中の砲一門は、いくら頑張っても1回の攻撃で敵一門しか破壊出来ないからである。いやまあ、百砲相手でも生き残る確率は0.000000000000000000009%なのだから、それ以下の確率を云々言っても話にはならないであろう。

相手を確実にやっつけたいなら、ゴルゴ13を一人雇うよりは、天才バカボンに出てくる本官さん百人の方がよいということである。決してコマンドーのようにはいかないのが現実だ。

常識的な兵法の考察

1度の砲撃でn発n中の砲一門が生き残る確率とn砲の相手を殲滅するまでの確率の歴然とした差を考えると、「攻めるには、兵力を分断し、個別に撃破するのが良い」ということが実によく分かる。

例えば、百発一中の砲百門が、平安朝の戦のように、「やぁやぁ、我こそは…」と、百発百中の砲一門に対して常に1対1で戦いを挑んできたとすれば、百発百中の砲一門が最後まで生き残る確率は36.6%であって0.000000000000000000009%では無いのである。
ちなみに、百発一中の砲が一斉に撃ってきた場合、百発百中の砲一門の生き残る確率が50%程度になるには、百発一中の砲十一門が精々であるが、常に1対1の場合は、百発一中の砲六十九門程度まで相手にできる。
そう考えると剣道の10人抜きはそれほど凄いわけではなく（凄いんだけど…）、本当の合戦で10人相手に戦って勝った方がとてつもなく強いということになるだろう。

で、結論めいたことを述べると、「仮面ライダーに出てくる怪人は、なんで1人ずつやねん。アホちゃうか」ということになろうか？ 何か違う気もするが、まぁいいか。